算数にチャレンジ！！第１０４７回問題

かなり厳密性に欠ける方法ではありますが、とりあえず答えが出たと言うことで自分の考え方を記録するためにも記事にしようと思います。

問題は算数にチャレンジ！！のホームページから過去問で飛べるのでまだやってない人はそっちを見てください。

↓↓リンク↓↓

※問題文だけだと若干(というか自分も最初そう思って見事に間違えたので普通に)分かりづらいですが、例に書いてある「5を取ったら10を取れない」というのは逆の「10を取ったら5を取れない」も当てはまるらしいので「384から順番に取っていけば全部取れるやん！」ってのは×です。

～以下ネタバレ注意！！～

自分の解答(厳密ではないです)

あるカードを取るためにはそのカードの半分の数字が書かれたカードが取られていなければ良いので、半分の数字が自然数でないことから、必ず奇数のカードは取ることが出来る。奇数は192枚ある。･･･①

次に偶数のカードは何枚取れるかを考える。

小さい方から順に考えていくと1を取った時点で2を取ることは出来ない。

2が取れないので4は取れる。

4は取れるので8は取れない。

このように考えていくと、2n、8n、32n、･･･は取ることが出来ず、4n、16n、64n、･･･は取ることが出来ると考えられる。(nは自然数)

384=2^7･3 であるから、4n、16n、64n、256nの場合について考えれば良い。

nが奇数の場合だけ考えると、2n、4n、8n、…のそれぞれが全て排反になる。(nが偶数の時を考えるとダブりが出てくる)

4nのとき、384/4=96より、4nの倍数は96個あるが、nが奇数のときのみなので48個。

16nのとき、同じようにして、384/16=24より12個。

64nのとき、同じようにして、384/64=6より3個。

256nのとき、n=1で256のみであるから1個。

よってこれらを足し合わせて48+12+3+1=64枚のカードは取ることが出来る。･･･②

ゆえに①+②より、求める枚数は256枚である。

という感じです。この解答は1から順に取っていくことを地道にやっていった結果思いついたのですが、なぜ1から取っていくと最大数取ることが出来るのかがはっきりと説明できません。(厳密性に欠けるというのはそういう意味です。)なので、誰かもっと良い解答があったら教えてください。

とりあえずごり押しでも解けて良かったです。

ちなみに今週の問題(第1048回問題)も解けたのでまた挑戦期間が終わったら記事にしたいと思います。なるべくこれからも解いていきたいですが、どれくらい解けるのだろうか･･･(過去問はやり始めると答えもわかるし止まらなさそうなので控えます･･･。)